2016 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 02

[matematikolimpiyati]

Ulam Spirali olarak bilinen yukarıdaki sayı tablosu; şekilde gösterildiği gibi, sayılar $1$'den başlayarak ve saat yönünde yazılarak oluşturulmuştur. Buna göre, bu tablodaki $381$ sayısının sağ alt çaprazındaki sayı kaçtır?

$\textbf{a)}\ 442  \qquad\textbf{b)}\ 463  \qquad\textbf{c)}\ 401  \qquad\textbf{d)}\ 421  \qquad\textbf{e)}\ 485$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{B}$

Spiralde dikkat edilirse, tamkarelerin diagonal olarak ilerlediği görülebilir. Yani tek tamkareler $1$'den başlayarak sol üst çapraza doğru ilerlerken, çift tamkareler $4$'den başlayarak sol alt çapraza doğru ilerler. $381$ sayısı ise $19^2=361$ ile $20^2=400$ arasındadır. $381-19^2=20$ ve $20^2-381=19$ olduğundan özel bir durum söz konusudur. Bunun üzerine gidelim. $19=2n-1$ dersek $381-(2n-1)^2=2n$ ve $(2n)^2-381=(2n-1)$'den $381$'in $4n^2-2n+1$ formatında olduğunu görürüz. Bu formattaki sayıları spiralde incelersek, $1$'den başlayarak sağ alt çapraza doğru ilerlediğini görürüz.

$n=10$'da $381$'i elde ettiğimizden $n=11$'de $381$'in sağ alt çaprazındaki $463$'ü elde ederiz.

Test mantığıyla çözüm bitmiştir ama tam çözüm için $4n^2-2n+1$ formatındaki sayıların o diyagonalde olduğunu göstermeliyiz. Bu da tamkarelerin pozisyonunu bildiğimiz için göstermesi çok zor değildir. $(2n-1)^2+1$ ve $(2n)^2$ ile aynı satır/sütunda olduğunu göstermek yeterlidir. Bu da kolay olduğundan buraya eklemiyorum.