2016 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 01

[matematikolimpiyati]

Hakan ve Mete, beraberliğin olmadığı bir oyun oynuyorlar. Düzenleme kurulu, oyunda kazanan ve kaybedene, her defasında belirli miktarda para veriyor. Belirli sayıda oyun sonunda, Hakan'ın $280$ TL'si, Mete'nin ise $175$ TL'si olduğu görülüyor. Mete'nin sadece $3$ oyunu kazandığı biliniyor. Her oyun sonunda düzenleme kurulu kazanana kaç TL vermektedir?

$\textbf{a)}\ 13  \qquad\textbf{b)}\ 65  \qquad\textbf{c)}\ 25  \qquad\textbf{d)}\ 26  \qquad\textbf{e)}\ 35$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{C}$

Kazanan $a$ TL, kaybeden $b$ TL alsın. Toplamda $x$ oyun oynansın. Bunun $3$ tanesini Mete, $x-3$ tanesini Hakan kazanmıştır. Bu durumda $(x-3)a+3b=280$ $$3a+(x-3)b=175$$ Bu iki denklemi taraf tarafa toplayınca ve çıkartınca $$x(a+b)=455$$ $$(x-6)(a-b)=105$$ $x\mid 455=5\cdot 7\cdot 13$ olduğundan (ve $x\geq 3$ olduğunu not alırsak), $x\in\{5,7,13,35,65,91,455\}$ olur. Dolayısıyla $(x-6)\in \{-1,1,7,29,59,85,449\}$ olur. $(x-6)\mid 105$ olduğundan $(x-6)\in\{-1,1,7\}$ ve buradan $x\in\{5,7,13\}$ olacaktır.

$x=5$ ise $a+b=91$ ve $a-b=-105$ olur ancak $a<0$ olur. Çözüm yoktur.
$x=7$ ise $a+b=65$ ve $a-b=105$ olur ancak $b<0$ olur. Çözüm yoktur.
$x=13$ ise $a+b=35$ ve $a-b=15$ olur. Çözüm olarak $(a,b)=(25,10)$ elde edilir. Kazanana $25$ lira verilmektedir.