2015 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 25

[matematikolimpiyati]

$ABC$ üçgeninin iç bölgesinde keyfi bir $P$ noktası alınıyor. $P$'den $[BC],[AC],[AB]$'ye çizilen dikme uzunlukları sırasıyla $x,y,z$  olsun.

$$S=\dfrac{|BC|}{x}+\dfrac{|AC|}{y}+\dfrac{|AB|}{z}$$

toplamı minimum olduğuna göre $P$ noktası için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

$\textbf{a)}$ $\text{Diklik merkezidir.}$
$\textbf{b)}$ $\text{Ağırlık merkezidir.}$
$\textbf{c)}$ $\text{Çevrel çemberin merkezidir.}$
$\textbf{d)}$ $\text{İç teğet çemberin merkezidir.}$
$\textbf{e)}$ $\text{İç teğet çember üzerindedir.}$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{D}$

İfadeyi düzenleyip Faydalı eşitsizlik uygulayalım, $$\frac{|BC|^2}{x|BC|}+\frac{|AC|^2}{y|AC|}+\frac{|AB|^2}{z|AB|}\geq \frac{(|BC|+|AC|+|AB|)^2}{(x|BC|+y|AC|+z|AB|)}=\frac{(|BC|+|AC|+|AB|)^2}{2\Delta(ABC)}$$ olur. Eşitlik durumu için $\frac{|BC|}{x|BC|}=\frac{|AC|}{y|AC|}=\frac{|AB|}{z|AB|}$ yani $x=y=z$ olmalıdır. Dolayısıyla eşitlik durumu $P$ iç teğet merkezinde olursa sağlanır.