2015 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 24

[matematikolimpiyati]

$a>1$ olmak üzere$,$ her reel(gerçel) $x$ için$,\ x^2+ax+10b \geq 0$  eşitsizliği sağlansın.

                   $S=\dfrac{b+11}{a-1}$

ifadesinin alabileceği en küçük değer kaçtır?

$\textbf{a)}\ \dfrac{11}{7}  \qquad\textbf{b)}\ \dfrac{11}{8}  \qquad\textbf{c)}\ \dfrac{11}{9}  \qquad\textbf{d)}\ \dfrac{11}{10}  \qquad\textbf{e)}\ \dfrac{11}{6}$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{D}$

Verilen polinomu/eşitsizliği düzenleyelim, $$x^2+ax+10b\geq 0\iff x^2+ax+\frac{a^2}{4}=\left(x+\frac{a}{2}\right)^2\geq \frac{a^2}{4}-10b$$ Eğer $\frac{a^2}{4}-10b>0$ ise $x=-\frac{a}{2}$ için eşitsizlik sağlanmaz. Dolayısıyla $40b\geq a^2$ olmalıdır. Bu durumda da her $x$ için eşitsizliğin sağlanacağı da kolaylıkla görülebilir. Dolayısıyla $a>1$ olduğundan $$S=\frac{b+11}{a-1}\geq \frac{\frac{a^2}{40}+11}{a-1}=\frac{a^2+440}{40(a-1)}$$ $a=t+1$ yazalım, $$40S\geq \frac{(t+1)^2+440}{t}=\frac{t^2+2t+441}{t}=2+t+\frac{441}{t}\geq 2+2\sqrt{441}=44$$ $$\implies \boxed{S\geq \frac{44}{40}=\frac{11}{10}}$$ olur. Eşitlik durumu için $t=\frac{441}{t}$ ve $t=21$, dolayısıyla $a=22$ ve $b=\frac{a^2}{40}=\frac{121}{10}$'dir.