2015 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 20

[matematikolimpiyati]

$f(x)=x^6+(k+1)x^5+(2k+1)x^4+(3k+1)x^3+(4k+1)x^2+(5k+1)x+6k+14$  polinomu veriliyor.

                                          $f(1-k)=44-12k$

eşitliği sağlandığına göre$,\ f(1)$  kaçtır?

$\textbf{a)}\ 54  \qquad\textbf{b)}\ 62  \qquad\textbf{c)}\ 56  \qquad\textbf{d)}\ 66  \qquad\textbf{e)}\ 44$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{B}$

Verilen polinomu düzenleyerek birkaç polinomun toplamı olarak yazalım. $T_n(x)=x^n+x^{n-1}+\cdots+x+1$ dersek $$f(x)=T_6(x)+kT_5(x)+kT_4(x)+kT_3(x)+kT_2(x)+kT_1(x)+kT_0(x)+13$$ olur. $T_{n}(x)=\frac{1-x^{n+1}}{1-x}$ olduğundan $T_{n}(1-k)=\frac{1-(1-k)^{n+1}}{k}$ olur. Dolayısıyla $$f(1-k)=\frac{1-(1-k)^7}{k}+1-(1-k)^6+1-(1-k)^5+1-(1-k)^4+1-(1-k)^3+1-(1-k)^2+1-(1-k)+13$$ $$=\frac{1-(1-k)^7}{k}+20-\sum_{i=0}^{6} (1-k)^i=20$$ Dolayısıyla $$44-12k=20\implies k=2$$ $f(1)=21k+20$ olduğundan $f(1)=62$ olur.