2015 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 19

[matematikolimpiyati]

Reel (gerçel) sayılar kümesinde tanımlanan bir $\blacktriangle$ işlemi$,$ her reel (gerçel) $a,b$ ve $c$ sayıları için$,$

                                 $a \blacktriangle a = 0$   ve   $a \blacktriangle (b \blacktriangle c) = (a \blacktriangle b)+c$

özelliklerini sağladığına göre$,\ (31 \blacktriangle 13) \blacktriangle 7$ sayısı aşağıdakilerden hangisidir?

$\textbf{a)}\ 7  \qquad\textbf{b)}\ 8  \qquad\textbf{c)}\ 9  \qquad\textbf{d)}\ 10  \qquad\textbf{e)}\ 11$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{E}$

Test mantığıyla $\blacktriangle$ işleminin aslında çıkarma işlemi olduğu tahmin edilip cevabın $(31-13)-7=11$ olduğu bulunabilir. Şimdi ispatını yapalım. $$a\blacktriangle (a\blacktriangle a)=a\blacktriangle 0\implies a\blacktriangle 0=(a\blacktriangle a)+a=a$$ $$b\blacktriangle (a\blacktriangle a)=b\blacktriangle 0=b\implies (b\blacktriangle a)+a=b\implies b\blacktriangle a=b-a$$ bulunur. Dolayısıyla $\blacktriangle$ işleminin aslında çıkarma işlemi olduğu doğrudur. Cevap $11$ olacaktır.