2015 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 16

[matematikolimpiyati]

$P(\sqrt2+\sqrt3)=\sqrt3+1$ eşitliğini sağlayan rasyonel katsayılı en küçük dereceli $P(x)$ polinomu için $P(3)$ değeri aşağıdakilerden hangisidir?

$\textbf{a)}\ 4  \qquad\textbf{b)}\ 1  \qquad\textbf{c)}\ 2  \qquad\textbf{d)}\ 3  \qquad\textbf{e)}\ 5$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{A}$

$P$ sabit değildir. Linear de olamaz çünkü $\sqrt{2}$'yi yok edemeyiz. Eğer $P$, ikinci dereceden ise $P(x)=ax^2+bx+c$ diyelim. $$P(\sqrt{2}+\sqrt{3})=a(5+2\sqrt{6})+b(\sqrt{2}+\sqrt{3})+c$$ olacaktır. $\sqrt{6}$'yı yok etmek için $a=0$ olmalıdır ama $P$ ikinci dereceden olmaz. Eğer $P$, üçüncü dereceden ise $P(x)=ax^3+bx^2+cx+d$ için $$P(\sqrt{2}+\sqrt{3})=a(11\sqrt{2}+9\sqrt{3})+b(5+2\sqrt{6})+c(\sqrt{2}+\sqrt{3})+d$$ $\sqrt{6}$'yı yok etmek için $b=0$ olmalıdır. $$P(x)=(11a+c)\sqrt{2}+(9a+c)\sqrt{3}+d=\sqrt{3}+1$$ $$\implies 11a+c=0\text{  ve  } 9a+c=1\text{  ve  } d=1\implies (a,b,c,d)=\left(-\frac{1}{2},0,\frac{11}{2},1\right)$$ elde edilir. Yani $P(x)=-\frac{1}{2}x^3+\frac{11}{2}x+1$ olur. $P(3)=4$ bulunur.