2015 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 15

[matematikolimpiyati]

$ab+ac+bc=abc+5$  denklemini sağlayan kaç tane $(a,b,c)$  pozitif tam sayı çözüm üçlüsü vardır?

$\textbf{a)}\ 8  \qquad\textbf{b)}\ 10  \qquad\textbf{c)}\ 12  \qquad\textbf{d)}\ 4  \qquad\textbf{e)}\ 9$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{E}$

Genelliği bozmadan $a\geq b\geq c$ olsun. $a=b=c=1$ çözüm olmadığından $a\geq 2$ olur. $$bc-5=a(bc-b-c)\implies a=\frac{bc-5}{bc-b-c}$$ olur. Bu durumu bozabilecek tek durum $bc=b+c=5$ durumudur ama çözümü yoktur. $$\frac{bc-5}{bc-b-c}\geq 2 \implies bc-5\geq 2bc-2b-2c\implies -1\geq bc-2b-2c+4=(b-2)(c-2)$$ olur. Yani $c=1$ olmalıdır. $c=1$ için $a+b=5$ olur. Buradan çözümler $(a,b,c)=(4,1,1),(3,2,1)$ bulunur. Permütasyonları da hesaba katarsak $3+3!=9$ çözüm bulunur.

[Lokman Gökçe]

Yanıt: $\boxed{E}$

Simetriden dolayı $a\geq b \geq c$ kabul edebiliriz. Bu durumda $ac\leq ab$ ve $bc\leq ab$ olduğundan $5 + abc \leq 3ab$ yazabiliriz. Her iki tarafı $ab$ ile bölersek

$$ \dfrac{5}{ab} + c \leq 3$$

olup $c\leq 2$ elde ederiz. $c\in \{ 1, 2\}$ değerlerini ana denklemde yerine koyarak çözüme devam edebiliriz.

$\bullet$ $c=1$ iken $ab + a + b = ab + 5$ olup $a+b=5$ tir. Böylece $(a,b,c) = (4,1,1), (3,2,1)$ ve permütasyonları çözüm olur. $\dfrac{3!}{3} + 3! = 9$ çözüm üçlüsü elde edilir.

$\bullet$ $c=2$ iken $ab - 2a - 2b + 5 = 0$ denklemine ulaşırız. $ab - 2a -2b + 4 = -1$ yazarak çarpanlara ayırırsak $(a-2)(b-2) = - 1$ denklemine ulaşırız. $a,b\geq 2$ olduğunu da göz önüne alarak sol taraftaki ifadenin negatif olamayacağını anlarız. Bu durumda yeni bir çözüm yoktur.