2015 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 13

[matematikolimpiyati]

$\dfrac{1}{n+1} < (\sqrt5-2)^4 < \dfrac{1}{n}$  eşitsizliğini sağlayan $n$  tam sayısı kaçtır?

$\textbf{a)}\ 316  \qquad\textbf{b)}\ 318  \qquad\textbf{c)}\ 320  \qquad\textbf{d)}\ 321  \qquad\textbf{e)}\ 322$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{D}$

Verilen eşitsizliği değiştirirsek, $$\frac{1}{n+1}<(\sqrt{5}-2)^4<\frac{1}{n}\implies n<\frac{1}{(\sqrt{5}-2)^4}=(\sqrt{5}+2)^4<n+1\implies n=\lfloor (\sqrt{5}+2)^4\rfloor$$ elde edilir. $$(\sqrt{5}+2)^4=(9+4\sqrt{5})^2=161+72\sqrt{5}$$ Bu sayıya $a$ dersek, eşleniği $b=161-72\sqrt{5}$'i ile birlikte $a+b=322$ ve $ab=1$ olur. $a>161$ olduğundan $b<\frac{1}{161}$ olur. Dolayısıyla $$322-\frac{1}{161}<a<322$$ ve $n=\lfloor a\rfloor =321$ elde edilir.