Cevap: $\boxed{B}$
$m$ ve $n$ tek tamsayı olduğundan $\frac{m+1}{n+1}$ ve $\frac{m+3}{n+3}$ kesirlerinde $2$ böleni sadeleşecektir. Dolayısıyla sadece $\frac{m}{n}$, $\frac{m+2}{n+2}$ ve $\frac{m+4}{n+4}$ kesirlerini incelemek yeterlidir. Kesirlerin sırasıyla $p,q,r$ tek asallarıyla sadeleşebildiğini varsayalım. Böyle asallar olmak zorundadır çünkü $a>1$ ile sadeleşiyorsa $a$'nın bölenleri ile de sadeleşiyordur ve $1$'den büyük her tamsayının bir asal böleni vardır. Ayrıca bu asallar farklı olmalıdır çünkü değillerse farklı olmayanlar $m,m+2,m+4$'deki aradaki farklara bölünmelidir ancak bu da $m$'nin tek olmasıyla çelişir. Buradan $$m,n\equiv 0\pmod{p},\quad\quad m,n\equiv -2\pmod{q}, \quad\quad m,n\equiv -4\pmod{r}$$ olacaktır. Çin kalan teoreminden $$m,n\equiv A\pmod{pqr}$$ olacak şekilde tek bir $0<A<pqr$ vardır ($A\neq 0$ olacağı barizdir). $m$ ve $n$ birbirinden farklı ve tek olduğundan $2pqr<m+n=2pqr+2A<4pqr$ olarak seçebiliriz.
$p,q,r$'yi $3,5,7$'nin permütasyonu olarak alırsak $210<m+n<420$ olacaktır. Bunun dışında bir asal üçlü alırsak, $420<2\cdot 5\cdot 7\cdot 11<m+n$ olacağından en küçük $m+n$ toplamı için asalları $3,5,7$'den seçmeliyiz. En küçük değer için $(m,n)=(A,2pqr+A)$ seçeceğimizden $m+n=2A+2pqr$ olacak ve $pqr$ sabit olduğundan $A$'yı minimum seçmeliyiz.
$(p,q,r)=(3,5,7)$ ise çin kalan teoreminden $m,n\equiv 3\pmod{105}$ olacaktır. $3$'ten daha küçük bir kalan bulamayacağımız barizdir. Dolayısıyla $m=3$ ve $n=213$ seçebiliriz. Sağlama yaparsak, kesirler $$\frac{3}{213}, \frac{4}{214},\frac{5}{215},\frac{6}{216},\frac{7}{217}\rightarrow \frac{1}{71}, \frac{2}{107},\frac{1}{43},\frac{1}{36},\frac{1}{31}$$ şeklinde sadeleşebilir. Dolayısıyla $m+n$'nin alabileceği en küçük değer $3+213=216=2^3\cdot 3^3$'dür. Bu sayının da $(3+1)(3+1)=16$ tane pozitif böleni vardır.
