2015 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 10

[matematikolimpiyati]

Aşağıdaki denklemlerde$,\ x_i$  tam sayıları $-1,1,2$ ve $3$ sayılarından oluşmaktadır. Değeri $2$ ve $3$ olan eşit sayıda $x_i$ vardır. Ayrıca$,\ -1,1,2,3$  sayılarından her biri en az $1$ kez bulunmaktadır. Buna göre$,$

                  $x_1+x_2+ \cdots +x_n=5$    ve    $x_1^4+x_2^4+ \cdots +x_n^4=995$

ise  $x_1^5+x_2^5+ \cdots x_n^5$  ifadesinin minimum değeri için $n$ kaç olur?

$\textbf{a)}\ 901  \qquad\textbf{b)}\ 900  \qquad\textbf{c)}\ 890  \qquad\textbf{d)}\ 490  \qquad\textbf{e)}\ 495$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{B}$

$a$ tane $-1$, $b$ tane $1$ ve $c$ tane $2,3$ olsun. Verilen denklemler, $a,b,c$ pozitif tamsayıları için $$b+5c-a=5$$ $$a+b+97c=995$$ elde edilir. Minimum değerini aradığımız ifade ise $b+275c-a$'dır. $a=b+5c-5$ yazarsak $$2b+102c=1000\implies b+51c=500$$ elde ederiz. $b\equiv 41\pmod{51}$'den $b=51b_0-10$ yazarsak, $b_0\geq 1$ için $$51b_0-10+51c=500 \implies b_0+c=10$$ Buradan $(b_0,c)$ çiftleri $(1,9)$, $(2,8),\dots, (9,1)$ elde edilir. $$(a,b,c)=(51b_0+5c-15,51b_0-10,c)\implies b+275c-a=270c+5$$ olduğundan $\min(b+275c-a)=270\cdot 1+5=275$'dir. Bizden bu değer için $n=a+b+2c$'nin kaç olacağı isteniyor. $c=1$ için $b_0=9$ olacağından $$n=a+b+2c=2b+7c-5=102b_0+7c-25=900$$ elde edilir.