Cevap: $\boxed{C}$
Sadeleştirmek için $x=t+1$ ve $a=b+1$ yazarsak $t^2=|t-b|$ denklemi elde ederiz. Ana denklemin üç çözümü olması ile yeni denklemin üç çözümü olması denk olacağından yeni olana bakmamız yeterlidir. $b=0$ için $t=0,1,-1$ çözümleri elde edilir. $b\neq 0$ için $t=b$ çözüm değildir.
$t>b$ çözümlerine bakalım. $t^2-t+b=0$ elde edilir. Bu denklemin kökü varsa $t>b$ olduğu görelim. Bu denklemin $0$, $1$ veya $2$ kökü vardır.
$t<b$ için $t^2+t-b=0$ olur. Yine bu denklemin kökü varsa $t<b$'dir. Bu denklemin de $0$, $1$ veya $2$ kökü vardır.
Toplam $3$ kök olması için denklemlerden birisinin $1$, diğerinin $2$ kökü olmalıdır. Yani bir tanesinin diskriminantı $0$ olmalıdır. Denklemlerin diskriminantları $\Delta_1=1-4b$ ve $\Delta_2=1+4b$ olduğundan $b=\pm \frac{1}{4}$ olur. İki sayı için de diskriminantlardan biri pozitif, diğeri $0$ olur. Dolayısıyla $b=\pm \frac{1}{4},0$ olmak üzere $3$ tane $b$ değeri vardır. Dolayısıyla $3$ adet $a$ değeri vardır.
