2015 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 07

[matematikolimpiyati]

$a_1=2$  ve her $n \geq 1$  için$,\ 5a_{n+1}=a_n+4$  sağlansın. $A_n=a_1+a_2+ \cdots +a_n$  olmak üzere$,$

               $\left|A_n-n-\dfrac54\right|<\dfrac{1}{2500}$

eşitsizliğini sağlayan en küçük $n$  sayısı kaçtır?

$\textbf{a)}\ 6  \qquad\textbf{b)}\ 7  \qquad\textbf{c)}\ 11  \qquad\textbf{d)}\ 5  \qquad\textbf{e)}\ 4$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{A}$

İndirgemeli dizi formülündeki $4$'ü yok etmek için $a_n=b_n+k$ şeklinde bir $k$ arayalım. $$5(b_{n+1}+k)=5b_{n+1}+5k=b_n+k+4$$ olacağından $k=1$ seçmemiz mantıklıdır. Dolayısıyla $b_n=a_n-1$ yazarsak, $5b_{n+1}=b_n$ elde edilir. Yani $b_n$ bir geometrik dizidir ve ortak çarpanı $5^{-1}$'dir. Eğer $b_n=A5^{-n}$ yazarsak, $b_1=1$ olduğunu kullanırsak $b_n=5^{1-n}$ ve $a_n=5^{1-n}+1$ olur. $$A_n=\sum_{k=1}^{n} (5^{1-k}+1)=n+\sum_{k=1}^{n}5^{1-k}=n+\sum_{k=1}^{n}\left(\frac{1}{5}\right)^{k-1}=n+\frac{1-\frac{1}{5^n}}{1-\frac{1}{5}}$$ $$\implies A_n=n+\frac{5}{4}-\frac{1}{4\cdot 5^{n-1}}\implies \left\lvert A_n-n-\frac{5}{4}\right\rvert=\frac{1}{4\cdot 5^{n-1}}$$ Dolayısıyla $$\frac{1}{4\cdot 5^{n-1}}<\frac{1}{2500} \iff 625<5^{n-1}\iff 5<n$$ olacağından $\min n=6$ bulunur.