2015 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 06

[matematikolimpiyati]

$a,b,c,d$  pozitif reel sayılar olmak üzere$,\ S=\dfrac{abc+bcd}{a^3+b^3+c^3+d^3}$  ifadesinin maksimum değeri kaçtır?

$\textbf{a)}\ \dfrac{\sqrt5+1}{6}  \qquad\textbf{b)}\ \dfrac12  \qquad\textbf{c)}\ \dfrac{\sqrt[3]{2}}{2}  \qquad\textbf{d)}\ \dfrac{\sqrt[3]{4}}{3}  \qquad\textbf{e)}\ \dfrac{\sqrt[4]{2}}{2}$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{D}$

Öncelikle $abc$ ve $bcd$ için ayrı eşitsizlikler bulalım. AGO'dan $$a^3+\frac{b^3}{2}+\frac{c^3}{2}\geq 3\sqrt[3]{\frac{a^3b^3c^3}{4}}=\frac{3abc}{2^{2/3}}$$ $$\frac{b^3}{2}+\frac{c^3}{2}+d^3\geq 3\sqrt[3]{\frac{b^3c^3d^3}{4}}=\frac{3bcd}{2^{2/3}}$$ elde ederiz. Taraf tarafa toplarsak, $$a^3+b^3+c^3+d^3\geq \frac{3}{2^{2/3}}(abc+bcd)\implies \frac{2^{2/3}}{3}\geq \frac{abc+bcd}{a^3+b^3+c^3+d^3}$$ olacağından $\max S=\frac{\sqrt[3]{4}}{3}$ elde ederiz. Eşitlik durumu için $a^3=\frac{b^3}{2}=\frac{c^3}{2}=d^3$ olmalıdır. $(a,b,c,d)=(1,\sqrt[3]{2},\sqrt[3]{2},1)$ eşitlik durumunu sağlar.