2015 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 05

[matematikolimpiyati]

Aşağıdaki sayıların en küçüğü kaçtır?

     $\sqrt{\dfrac{13}{12}} + \sqrt{\dfrac{108}{13}},\quad \sqrt{\dfrac{14}{12}} + \sqrt{\dfrac{108}{14}},\quad \sqrt{\dfrac{15}{12}} + \sqrt{\dfrac{108}{15}},\quad ...,\quad \sqrt{\dfrac{107}{12}} + \sqrt{\dfrac{108}{107}}$

$\textbf{a)}\ \dfrac{5\sqrt2}{2}  \qquad\textbf{b)}\ 3,5  \qquad\textbf{c)}\ 2\sqrt3  \qquad\textbf{d)}\ 3\sqrt2  \qquad\textbf{e)}\ 2,3$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{C}$

Verilen sayılar $107\geq n\geq 13$ için $\sqrt{\frac{n}{12}}+\sqrt{\frac{108}{n}}$ formatındadır. AGO'dan $$\sqrt{\frac{n}{12}}+\sqrt{\frac{108}{n}}\geq 2\sqrt{\sqrt{\frac{n}{12}}\cdot \sqrt{\frac{108}{n}}}=2\sqrt{3}$$ elde edilir. Eşitlik durumu $\frac{n}{12}=\frac{108}{n}$'den $n=36$ bulunur.