2015 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 04

[matematikolimpiyati]

$d_3$ doğrusu$,\ d_1$ ve $d_2$ doğruları arasında olmak üzere$,\ d_1,d_2$ ve $d_3$ birbirine paralel üç doğrudur. Bir $ABC$ eşkenar üçgeninin $A,B$ ve $C$ köşeleri sırasıyla $d_1,d_2$ ve $d_3$ doğruları üzerindedir. $d_1$ ve $d_3$ arasındaki uzaklık $12\ cm,\ d_2$ ve $d_3$ arasındaki uzaklık $3\ cm$ olduğuna göre $ABC$ üçgeninin alanı kaç $cm^2$'dir?

$\textbf{a)}\ 52\sqrt3  \qquad\textbf{b)}\ 54\sqrt3  \qquad\textbf{c)}\ 56\sqrt3  \qquad\textbf{d)}\ 60\sqrt3  \qquad\textbf{e)}\ 63\sqrt3$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{E}$

$A$'dan $d_2$'ye inilen dikmenin ayağı $X$; $C$'den $d_2$'ye inilen dikmenin ayağı $Y$; $d_1$'e inilen dikme ayağı $Z$ olsun. Bu durumda $|AX|=15$, $|CY|=3$ ve $|CZ|=12$ bulunur. $AXYZ$ bir dikdörtgen olduğundan eğer $|AZ|=a$ ve $|BX|=b$ dersek $|BY|=a+b$ olur. Üçgenin bir kenar uzunluğuna $x$ dersek, $BCY$, $ABX$ ve $ACZ$ üçgenlerinde pisagor uygulayalım. $$x^2=(a+b)^2+9=a^2+225=b^2+144$$ elde edilir. $a^2=x^2-225$ ve $b^2=x^2-144$ dersek, $$x^2=a^2+2ab+b^2+9=2ab+2x^2-360\implies 2ab=360-x^2$$ elde edilir. $$4a^2b^2=4(x^2-225)(x^2-144)=(360-x^2)^2\implies 3x^4-756x^2=3x^2(x^2-252)=0\implies x^2=252$$ elde edilir. Kenarı $x$ birim olan bir eşkenar üçgenin alanı $\frac{x^2\sqrt{3}}{4}$ olduğundan $ABC$ üçgeninin alanı $\frac{252\sqrt{3}}{4}=63\sqrt{3}$ elde edilir.

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

Yanıt: $\boxed{E}$

$AB\cap d_3=D$  diyelim. $AD:DB=4:1$  olduğundan $AD=4k$,  $BD=k$  diyelim. Stewart'tan $CD=k\sqrt{21}$  olur. $[ABC]=\dfrac{25k^2\sqrt{3}}{4}=\dfrac{15}{2}CD=\dfrac{15k\sqrt{21}}{2}$  olduğundan $k=\dfrac{6\sqrt{7}}{3}$  ve $[ABC]=63\sqrt{3}$  bulunur.