2015 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 03

[matematikolimpiyati]

$(a+b+c+d)^n$  ifadesinin açılımındaki terim sayısı $f(n)$  olmak üzere$,$

                              $\displaystyle \prod_{n=1}^{50} \big(f(2n)-f(2n-1)\big)$

sayısı $2^p$ sayısına tam bölünüyorsa$,\ p$ sayısı en fazla kaç olabilir?

$\textbf{a)}\ 47  \qquad\textbf{b)}\ 53  \qquad\textbf{c)}\ 43  \qquad\textbf{d)}\ 73  \qquad\textbf{e)}\ 101$

[baris09]

Cevap: $\boxed{A}$

$(a+b+c+d)^n$ ifadesinin açılımındaki terim sayısı $\dbinom{n+3}{3}$'dür.Yani $f(n)=\dbinom{n+3}{3}$'dür.(Ayraç yöntemiyle basitçe kanıtlanabilir.).O halde $f(2n)-f(2n-1)=\dbinom{2n+3}{3}-\dbinom{2n+2}{3}$'dür. $\dbinom{n}{k}+\dbinom{n}{k+1}=\dbinom{n+1}{k+1}$ eşitliğinden (Pascal eşitliği) $\dbinom{2n+3}{3}=\dbinom{2n+2}{3}+\dbinom{2n+2}{2}$ olduğunu buluruz.Bunu $f(2n)-f(2n-1)=\dbinom{2n+3}{3}-\dbinom{2n+2}{3}$ ifadesinde  yerine yazacak olursak $f(2n)-f(2n-1)=\dbinom{2n+2}{2}$ elde ederiz.Bu durumda aradağımız çarpım:
\[
\dbinom{4}{2}\dbinom{6}{2}\dbinom{8}{2}...\dbinom{100}{2}\dbinom{102}{2}=\frac{3.4}{2}\frac{5.6}{2}\frac{7.8}{2}...\frac{99.100}{2}\frac{101.102}{2}=\frac{102!}{2^{51}}
\]olur. $102!$ içinde
\[
 \left\lfloor\frac{102}{2}\right\rfloor +\left\lfloor\frac{102}{4}\right\rfloor +\left\lfloor\frac{102}{8}\right\rfloor+ \left\lfloor\frac{102}{16}\right\rfloor +\left\lfloor\frac{102}{32}\right\rfloor +\left\lfloor\frac{102}{64}\right\rfloor =98
\] tane $2$ çarpanı vardır.Paydada $2^{51}$ olduğundan aradığımız çarpım $2$'nin en fazla $98-51=47$'nci kuvvetine bölünür.Yani $p$ en fazla $47$ olabilir.