2015 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 02

[matematikolimpiyati]

$(\sqrt[3]{3} + \sqrt[5]{5})^{1515}$  ifadesinin binom açılımında$,$ toplananların kaç tanesi rasyonel sayı olacaktır?

$\textbf{a)}\ 100  \qquad\textbf{b)}\ 102  \qquad\textbf{c)}\ 105  \qquad\textbf{d)}\ 115  \qquad\textbf{e)}\ 315$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{B}$

Verilen ifadenin açılımındaki terimlerin her biri $\dbinom{1515}{n}(\sqrt[3]{3})^n(\sqrt[5]{5})^{1515-n}$ formatında olur. Eğer $n\equiv a\pmod{15}$ ise $n=15k+a$ için $$\dbinom{1515}{n}(\sqrt[3]{3})^n(\sqrt[5]{5})^{1515-n}=\dbinom{1515}{n} 3^{5k}5^{303-3k}(\sqrt[3]{3})^{a}(\sqrt[5]{5})^{-a}$$ olduğundan $(\sqrt[3]{3})^{a}(\sqrt[5]{5})^{-a}$ rasyonel olmalıdır. Bu sadece $a=0$ iken yani $n$ sayısı $15$'e bölünürken sağlanır. Dolayısıyla $n=0,15,30,\dots, 101$ olabilir ve toplamda $102$ rasyonel terim vardır.