2015 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 01

[matematikolimpiyati]

$(yx)^y= \left( \dfrac{y}{x} \right)^x$  ve  $x^2=\dfrac{1}{y}$  denklem sisteminin pozitif reel sayılarda kaç çözümü vardır?

$\textbf{a)}\ 4  \qquad\textbf{b)}\ 3  \qquad\textbf{c)}\ 2  \qquad\textbf{d)}\ 1  \qquad\textbf{e)}\ \text{Sonsuz Çoklukta}$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{C}$

$y$'yi yalnız bırakarak sadece $x$'den oluşan bir denklem elde edelim. $y=\frac{1}{x^2}$ için $$\left(\frac{1}{x^2}\cdot x\right)^{\frac{1}{x}}=\left(\frac{\frac{1}{x^2}}{x}\right)^{x}\implies \left(\frac{1}{x}\right)^{\frac{1}{x}}=\left(\frac{1}{x^3}\right)^x$$ $$\implies x^{\frac{1}{x}}=x^{3x}\implies x=x^{3x^2}\iff \ln{x}=3x^2\ln{x}$$ Buradan tüm çözümler $x=\frac{\sqrt{3}}{3}$ ve $x=1$ çözümü bulunur. $2$ tane çözüm elde edilir.