2014 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 22

[matematikolimpiyati]

Tüm terimleri tam sayılar olan ve ilk $10$ terim içinde $1$ ve $31$ bulunan kaç farklı aritmetik dizi vardır?

$\textbf{a)}\ 54  \qquad\textbf{b)}\ 66  \qquad\textbf{c)}\ 68  \qquad\textbf{d)}\ 60  \qquad\textbf{e)}\ 50$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{B}$

Dizinin ortak farkı $d$ olsun. $a_n=(n-1)d+a_1$'dir. $1\leq m,n\leq 10$ olmak üzere $$a_n=1=(n-1)d+a_1$$ $$a_m=31=(m-1)d+a_1$$ olsun. Farkını incelersek, $30=d(m-n)$ olacaktır. $1\leq |m-n|\leq 9$ olduğundan $(m-n,d)=(1,30),(-1,-30),(2,15),(-2,-15),(3,10),(-3,-10),(5,6),(-5,-6),(6,5),(-6,-5)$ olabilir. Bu değerler için sırasıyla $9,9,8,8,7,7,5,5,4,4$ tane $(m,n)$ ikilisi vardır. Her değer için $d$ ve $a_1$ olduğundan dizinin terimleri tamsayıdır. Toplamda $9+9+8+8+7+7+5+5+4+4=66$ dizi vardır.