2014 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 21

[matematikolimpiyati]

$f(x)=x^4+3x^3+4x^2-5$  ve  $g(x)=x^4-x^3-4x^2+5$  olmak üzere$,\ 0<x \leq p$  koşulunu sağlayan bir $x$ tam sayısı için$,\ p$ asal sayısı $f(x)$ ve $g(x)$'i bölmektedir. Buna göre$,\ p$ asal sayısının alabileceği değerlerin toplamı kaçtır?

$\textbf{a)}\ 8  \qquad\textbf{b)}\ 15  \qquad\textbf{c)}\ 26  \qquad\textbf{d)}\ 21  \qquad\textbf{e)}\ 19$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{A}$

$p$ iki polinomu da bölüyorsa, lineer kombinasyonlarını da böler. Öklid algoritmasından, $$x^4+3x^3+4x^2-5=(x^4-x^3-4x^2+5)+(4x^3+8x^2-10)$$ $$x^4-x^3-4x^2+5=\left(\frac{1}{4}x-\frac{3}{4}\right)(4x^3+8x^2-10)+\left(2x^2+\frac{5}{2}x-\frac{5}{2}\right)$$ $$4x^3+8x^2-10=\left(2x+\frac{3}{2}\right)\left(2x^2+\frac{5}{2}x-\frac{5}{2}\right)+\left(\frac{5}{4}x-\frac{25}{4}\right)$$ $$2x^2+\frac{5}{2}x-\frac{5}{2}=\left(\frac{8}{5}x+10\right)\left(\frac{5}{4}x-\frac{25}{4}\right)+60$$ olacaktır. Bu eşitliklerden $p$, sırasıyla $4x^3+8x^2-10$'u, $8x^2+10x-10$'u, $10x-50$'i ve $5\cdot 8\cdot 60=2400$'ı bölecektir. Yani $p=2,3,5$ olabilir. $p=2$ için $$x^4+3x^3+4x^2-5\equiv 1\pmod{2}$$ olduğundan $2\nmid f(x)$'dir. $p=3$ için $x=2$ alınabilir. $p=5$ için de $x=5$ alınabilir. Dolayısıyla $p$'nin alabileceği değerlerin toplamı $3+5=8$'dir.