2014 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 16

[matematikolimpiyati]

$S=\displaystyle \sum\limits_{k=0}^{9} \left( \biggl \lfloor \dfrac{3^{20}}{3^{10}+3^k} \biggr \rfloor + \biggl \lfloor \dfrac{3^{20}}{3^{10}+3^{20-k}} \biggr \rfloor \right)$  toplamının $9$'a bölümünden kalan kaçtır?

$($Burada$,$ $\lfloor x \rfloor$ ifadesi$,$  $x$ sayısının tamdeğerini göstermektedir.$)$

$\textbf{a)}\ 8  \qquad\textbf{b)}\ 0  \qquad\textbf{c)}\ 4  \qquad\textbf{d)}\ 6  \qquad\textbf{e)}\ 3$