2014 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 11

[matematikolimpiyati]

$x$  bir reel sayı ve

                $A(x)=(x+2)^5+(x+2)^3(x-2)^2+(x+2)(x-2)^4$
                $B(x)=(2-x)^5+(2-x)^3(2+x)^2+(2-x)(2+x)^4$

olmak üzere$,\ A(x)=B(x)$  denkleminin çözüm sayısı kaçtır?

$\textbf{a)}\ 0  \qquad\textbf{b)}\ 1  \qquad\textbf{c)}\ 2  \qquad\textbf{d)}\ 3  \qquad\textbf{e)}\ 5$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{B}$

Öncelikle $B(x)=A(-x)$ olduğunu görelim. Yani bizden $A(x)=A(-x)$ denkleminin çözüm sayısı isteniliyor. Eğer $A(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0$ yazarsak, $A(x)=A(-x)$ denkleminde çift kuvvetli terimlerin eleneceğini ve tek kuvvetli terimlerin kalacağını görebiliriz. $$A(x)=3 x^5 + 6 x^4 + 40 x^3 + 80 x^2 + 48 x + 96$$ olduğunu görebiliriz. Çift kuvvetli terimler elendiğinden bizim çözüm sayısını bulmamız gereken denklem $$3x^5+40x^3+48x=x(3x^4+40x^2+48)=0$$ olacaktır. $x=0$ kökünü kenara alalım. $4.$ dereceden olan kısımda $x^2$ ve $x^4$ terimleri pozitif veya sıfır olduğundan $x^4+40x^2+48>0$'dır. Yani buradan kök gelmez. Tek çözüm $x=0$'dır ve bir tane çözüm vardır.