2014 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 10

[matematikolimpiyati]

Kenar uzunlukları $2\sqrt2$  ve  $7\sqrt2$  olan bir $ABCD$  dikdörtgeninin çevresine, şekildeki gibi $KLMN$ dikdörtgeni çiziliyor.
$KLMN$ dikdörtgeninin alanı kaç farklı tamkare değeri olabilir?

$\textbf{a)}\ 5  \qquad\textbf{b)}\ 2  \qquad\textbf{c)}\ 3  \qquad\textbf{d)}\ 4  \qquad\textbf{e)}\ 1$

[diktendik]

Benzerlikten $|BL|=7x,|CM|=2x$ ve $|LC|=7y,|BK|=2y$ yazılabilir. $BLC$ üçgeninde pisagordan $x^2+y^2=2$ bulunur. Alan $$A=(7x+2y)(2x+7y)=14x^2+14y^2+53xy=28+53xy$$ olarak yazılabilir. Ayrıca AGO'dan $\frac{x^2+y^2}{2}=1\geq xy$ olduğunu biliyoruz. Buradan $28<A\leq 81$ bulunur. Alanın alabileceği tamkare değerler $36,49,64,81$ olup bunların sayısı $4$ tanedir.