2014 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 09

[matematikolimpiyati]

$x^3-3x^2+6x+13=0$  ve  $y^3+6y^2+15y+31=0$  denklemlerini sağlayan $x$  ve $y$  reel sayıları için $x-y$  kaçtır?

$\textbf{a)}\ 2  \qquad\textbf{b)}\ 6  \qquad\textbf{c)}\ 4  \qquad\textbf{d)}\ 5  \qquad\textbf{e)}\ 3$

[Eray]

Cevap: $\boxed E$

Sorunun ifadesinden her iki denklemin de tam olarak $1$ gerçel kökü olduğu anlaşılmaktadır.

$x = y + a$ yazarsak,
$(y+a)^3 - 3(y+a)^2 + 6(y+a) + 13 = 0$ denkleminin $y^3 + 6y^2 + 15y + 31 = 0$ denklemiyle özdeş olmasını istiyoruz.
Bu denklemde $0 = (y+a)^3 - 3(y+a)^2 + 6(y+a) + 13 = y^3 + (3a-3)y^2 + ...$ , yani $y^2$ teriminin katsayısı olan $3a-3$ sayısının $6$ ya eşit olmasını istediğimizden $a=3$ olma ihtimalini irdeleyebiliriz.

Gerçekten de $x = y + 3$ yazdığımızda $0 = (y+3)^3 - 3(y+3)^2 + 6(y+3) + 13 = 0$ denkleminin $0 = y^3 + 6y^2 + 15y + 31$ istenen haline dönüştüğünü görüyoruz. Bu da $x = y + 3$ yani $\boxed{x-y=3}$ olduğunu teyit etmektedir.

[Metin Can Aydemir]

Tamküpe benzetmeye çalışırsak $$x^3-3x^2+3x-1=-3x-14\implies (x-1)^3=-3(x-1)-17$$ $$y^3+6y^2+12y+8=-3y-23\implies (y+2)^3=-3(y+2)-17$$ elde edilir. Yani $x-1$ ve $y+2$ sayıları $P(t)=t^3+3t+17$ polinomunun kökleridir. $P'(t)=3t^2+3>0$ olduğundan $P$ artandır ve tek kökü vardır. Dolayısıyla $$x-1=y+2\implies x-y=3$$ elde edilir.