2014 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 07

[matematikolimpiyati]

$S=1^2+2^2+3^2-4^2-5^2+6^2+7^2+8^2-9^2-10^2+ \cdots +101^2+102^2+103^2-104^2-105^2$

toplamının $25$'e bölümünden kalan kaçtır?

$\textbf{a)}\ 0  \qquad\textbf{b)}\ 2  \qquad\textbf{c)}\ 4  \qquad\textbf{d)}\ 6  \qquad\textbf{e)}\ 8$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{E}$

Toplamdaki sayıları $n=0,1,\dots,20$ $(5n+1)^2+(5n+2)^2+(5n+3)^2-(5n+4)^2-(5n+5)^2$ şeklinde gruplayalım. $$(5n+1)^2+(5n+2)^2+(5n+3)^2-(5n+4)^2-(5n+5)^2=25n^2-30n-27$$ olduğundan $$S=\sum_{n=0}^{20} 25n^2-30n-27=25\cdot \frac{20\cdot 21\cdot 41}{6}-30\cdot \frac{20\cdot 21}{2}-27\cdot 21=64883$$ ve bu sayının $25$'e bölümünden kalan da $8$'dir.