2014 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 05

[matematikolimpiyati]

Her $x,y \neq 0$ için$,$

$x[f(xy)-f(x)]+f(-y)=0$  ve  $f(2)=3$

eşitliklerini sağlayan $f$ fonksiyonu için $f\left( \dfrac{1}{10}\right)$ değeri kaçtır?

$\textbf{a)}\ 10  \qquad\textbf{b)}\ 12  \qquad\textbf{c)}\ 15  \qquad\textbf{d)}\ 22  \qquad\textbf{e)}\ 24$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{D}$

$y$ yerine $\frac{1}{x}$ yazalım. $$x[f(1)-f(x)]+f\left(-\frac{1}{x}\right)=0\implies f\left(-\frac{1}{x}\right)=xf(x)-xf(1)$$ elde edilir. Burada da $x$ yerine $-\frac{1}{x}$ yazarsak, $$f(x)=-\frac{1}{x}f\left(-\frac{1}{x}\right)+\frac{1}{x}f(1)\implies f(1)-xf(x)=f\left(-\frac{1}{x}\right)$$ elde edilir. Bu iki eşitliği kullanırsak, $xf(x)-xf(1)=f(1)-xf(x)$ olacağından $f(x)=\frac{(x+1)f(1)}{2x}$ elde edilir. $f(2)=3$ olduğundan $f(1)=4$'dür ve $$f(x)=\frac{2(x+1)}{x}$$ bulunur. Sonuç olarak $f\left(\frac{1}{10}\right)=22$'dir.