2014 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 04

[matematikolimpiyati]

$|AB|=15,\ |BC|=18$  ve $|CA|=21$  olan $ABC$  üçgeninin iç bölgesinden bir $D$ noktası alınıyor. $[AD],\ [BD]$ ve $[CD]$'nin orta noktaları sırasıyla $E,\ F$ ve $G$  olsun. $[AF]$ ile $[BE]$'nin kesişimi $H;\ [BG]$ ile $[CF]$'nin kesişimi $K$ ve $[CE]$ ile $[AG]$'nin kesişimi de $L$ ise $EHFKGL$ altıgeninin alanı nedir?

$\textbf{a)}\ 20\sqrt6  \qquad\textbf{b)}\ 18\sqrt6  \qquad\textbf{c)}\ 21\sqrt6  \qquad\textbf{d)}\ 15\sqrt6  \qquad\textbf{e)}\ 16\sqrt6$

[Lokman Gökçe]

Yanıt: $\boxed{B}$

$ABD$, $BCD$, $CAD$ üçgenlerinin ağırlık merkezleri (centroid) sırasıyla $H$, $K$, $L$ noktalarıdır. Ağırlık merkezinin özelliği olarak,
$$
\begin{aligned}
Alan(DEHF) &= \dfrac{1}{3}Alan(ABD) \\
Alan(DFKG) &= \dfrac{1}{3}Alan(BCD) \\
Alan(DGLE) &= \dfrac{1}{3}Alan(CAD)
\end{aligned}
$$
eşitlikleri vardır. Bu eşitlikleri taraf tarafa toplarsak, $Alan(EHFKGL) = \dfrac{1}{3}Alan(ABC)$ olur. $ABC$ üçgeninin yarı çevresi $u=\dfrac{15+18+21}{2}=27$ olduğundan Heron formülünden,
$$ Alan(ABC) = \sqrt{27(27-15)(27-18)(27-21)}=54\sqrt{6}$$
elde edilir. $Alan(EHFKGL) = \dfrac{1}{3}\cdot 54\sqrt{6} = 18\sqrt{6}$ sonucuna ulaşılır.

Not: Benim hazırladığım problemlerden biriydi. Hazırladığım çözümü burada paylaşayım.