2014 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 03

[matematikolimpiyati]

$x^5+5y^5=z^6$ denkleminin pozitif tam sayılarda kaç çözümü vardır?

$\textbf{a)}\ 0  \qquad\textbf{b)}\ 1  \qquad\textbf{c)}\ 2  \qquad\textbf{d)}\ 5  \qquad\textbf{e)}\ \text{Sonsuz Çoklukta}$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{E}$

Basit bir çözüm bularak başlayalım. $x=y$ için çözüm ararsak $6x^5=z^6$ denklemine ulaşırız. Dolayısıyla $(x,y,z)=(6,6,6)$ bir çözümdür. Şimdi bu çözüm üzerinden yeni çözümler elde etmeye çalışalım. Eğer denklemin her tarafını $k^{30}$ ile çarparsak, $$(xk^6)^5+5(yk^6)^5=(zk^5)^6$$ elde ederiz. Yani herhangi bir $k\in\mathbb{Z}^+$ için $(x,y,z)=(6k^6,6k^6,6k^5)$ bir çözümdür. Dolayısıyla sonsuz çözüm vardır.