2014 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 02

[matematikolimpiyati]

$\dfrac{13^n+2}{3}$  ifadesinin tamkare olmasını sağlayan kaç $n$  pozitif tam sayısı vardır?

$\textbf{a)}\ 6  \qquad\textbf{b)}\ 4  \qquad\textbf{c)}\ 1  \qquad\textbf{d)}\ 0  \qquad\textbf{e)}\ \text{Sonsuz Çoklukta}$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{D}$

$a>0$ için $13^n+2=3a^2$ olsun. $$3a^2\equiv 2\pmod{13}\implies a^2\equiv 5\pmod{13}$$ olacaktır. $1,2,3,4,5,6$ kalanlarını denersek, $13$ modundaki karekalanlar $1,3,4,9,10,12$'dır. $5$ karekalan olmadığından çözüm yoktur.