Tübitak Lise 1. Aşama 1996 Soru 36

[matematikolimpiyati]

Şekilde $ABCD$  kare$,$

$m(\widehat{AED})=90^{\circ}$  ve $[BD]$  nin orta noktası $F$  dir.

$|EA|=a,\ |EF|=b,\ |ED|=c$  ise

$ABD$  üçgeninin alanı aşağıdakilerden hangisidir?

$\textbf{a)}\ a^2+b^2+ab  \qquad\textbf{b)}\ b^2+4ac  \qquad\textbf{c)}\ \dfrac{b^2+ac}{3}  \qquad\textbf{d)}\ b^2-\dfrac{ac}{2}  \qquad\textbf{e)}\ b^2-ac$

[geo]

Yanıt: $\boxed E$

$AF\perp BD$ olduğu için $AEDF$ bir kirişler dörtgenidir.
Ptolemy uygularsak $AF\cdot ED + AE\cdot DF = EF\cdot AD$, yani $AF\cdot (a+c)=b\cdot AF\cdot \sqrt 2 \Longrightarrow a^2+c^2 = 2b^2 -2ac$.
$[ABD]=\dfrac {AD^2}2= \dfrac{a^2+c^2}{2}=b^2-ac$

[geo]

$ED$ uzantısı üzerinde $\triangle CGD \cong \triangle EDA$ olacak şekilde $G$ noktası, benzer şekilde $EA$ uzantısı üzerinde $I$ noktası alalım. $IB$ ile $GC$, $H$ de kesişsin. $\triangle EDA \cong  \triangle GCD \cong \triangle IAB \cong  \triangle HBC $ ve $EGHI$ kare olacaktır.
Simetriden $EF=GF=HF=IF$ yani $F$ noktası hem $ABCD$ karesinin hem de $EGHI$ karesinin merkezi olacaktır.
$[ABCD]=[EGHI]-4\cdot [EDA]=2\cdot EF^2-2\cdot EA\cdot ED=2b^2-2ac$ olacaktır.
Bu durumda $[ABD]=\dfrac{[ABCD]}{2}=b^2-ac$ olur.