Yanıt:$\boxed{a}$
$|BC|\gt |AC|$ olduğundan $\widehat{A}\gt \widehat{B}$ olmalıdır. Buna göre $[BC]$ doğru parçası üzerinde $|AD|=|BC|$ olacak şekilde bir $D$ noktası alırsak $m(\widehat{DAC})=\widehat{A}-\widehat{B}$ olur. $AD$ doğrusunu $D$ yönünde uzatalım ve uzantı üzerine $C$ noktasından indiğimiz dikmenin ayağına $E$ diyelim.
$\cos(\widehat{A}-\widehat{B})=\dfrac{7}{8}=\dfrac{AE}{4}$ eşitliğinden $|AE|=\dfrac{7}{2}$ ve $AEC$ üçgeninde Pisagor teoreminden $|EC|=\dfrac{\sqrt{15}}{2}$ bulunur.
$D$ noktasından $[AC]$ doğru parçasına indiğimiz dikmenin ayağı $F$ olsun. $AFD$ üçgeninde
$\cos(\widehat{A}-\widehat{B})=\dfrac{7}{8}=\dfrac{AF}{AD}$ olduğundan $|AF|=7k,|CF|=4-7k,|AD|=8k$ diyelim. Bu durumda $|CD|=5-8k$, $|DE|=\dfrac{7}{2}-8k$ olur.
$DEC$ üçgeninde Pisagor teoreminden elde edilen $$(5-8k)^2=(\dfrac{7}{2}-8k)^2+(\dfrac{\sqrt{15}}{2})^2$$ eşitliğinden $k=\dfrac{3}{8}$ bulunur. Buna göre
$DFC$ üçgeninde $$\cos(\widehat{C})=\dfrac{4-7k}{5-8k}$$ $$\cos(\widehat{C})=\dfrac{11}{16}=\dfrac{m}{n}$$ olup $(m,n)=(11,16)=1$ olduğundan $$m+n=11+16=27$$ bulunur.