2013 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 24

[matematikolimpiyati]

$x^{\log_{100} x}=10x$ denkleminin tüm çözümlerinin çarpımının bir tam sayı olduğu biliniyorsa bu sayının rakamları toplamını bulunuz.

$\textbf{a)}\ 1  \qquad\textbf{b)}\ 2  \qquad\textbf{c)}\ 3  \qquad\textbf{d)}\ 5  \qquad\textbf{e)}\ 8$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{A}$

$a\in\mathbb{R}$ olmak üzere $x=10^a$ yazalım. Bu durumda $\log_{100}x=\frac{a}{2}$'dir. Bu durumda $x^{\log_{100}x}=10^{a^2/2}$ ve $10x=10^{a+1}$'dir. Yani $$10^{a+1}=10^{\frac{a^2}{2}}\implies a^2=2a+2$$ Buradan iki tane çözüm ($a_1,a_2$) elde edeceğiz. Bu çözümler orijinal denklemde $x_1=10^{a_1}$ ve $x_2=10^{a_2}$'ye denk gelmektedir. $a_1+a_2$ toplamı Vieta formüllerinden $2$ olduğundan bu köklerin çarpımı $$x_1x_2=10^{a_1+a_2}=10^{2}=100$$ elde edilir. Rakamları toplamı ise $1$'dir.