2013 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 22

[matematikolimpiyati]

$n=1,2,3,...,10$  için $a_n$ sayısı$,$

                                           $a_n=1 \underbrace{0000...0000}_{2^n-1\ \text{tane sıfır var} }1$

şeklinde tanımlansın. $A=11 \cdot a_1 \cdot a_2 \cdot a_3 \cdots a_{10}$ sayısının rakamları toplamı kaçtır?

$\textbf{a)}\ 2^9  \qquad\textbf{b)}\ 2^{10}  \qquad\textbf{c)}\ 2^{11}  \qquad\textbf{d)}\ 2^{12}  \qquad\textbf{e)}\ 2^{13}$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{C}$

Her $a_n$ sayısını $10^{2^n}+1$ olarak yazabiliriz. Dolayısıyla bizden istenen sayı $$A=(10^{2^0}+1)(10^{2^1}+1)\cdots (10^{2^{10}}+1)$$ olacaktır. Her tarafı $10^{2^{0}}-1=9$ ile çarparsak, $$9A=(10^{2^{0}}-1)(10^{2^0}+1)(10^{2^1}+1)\cdots (10^{2^{10}}+1)$$ $$=(10^{2^1}-1)(10^{2^1}+1)\cdots (10^{2^{10}}+1) =(10^{2^2}-1)(10^{2^2}+1)\cdots (10^{2^{10}}+1)$$ $$\cdots = 10^{2^{11}}-1$$ Yani $A=\frac{10^{2^{11}-1}}{9}$ olur.

Bu kısımdan sonra aslında klasik bir sınavda kabul edilmeyecek bir şeyi kullanacağım. Test sınavı mantığıyla cevabın $2^k$ formatında olduğunu kabul edeceğim. $A$ sayısının rakamlarının toplamının $9$'a bölümünden kalanı, yani kendisinin $9$'a bölümünden kalanı bulalım. Yeterince büyük bir $k\in\mathbb{Z}^+$ için $$10^{k}-1\equiv (9+1)^k-1\equiv 9^{k}+\dbinom{k}{1}9^{k-1}+\dbinom{k}{2}9^{k-2}+\cdots+ \dbinom{k}{k-2}9^2+\dbinom{k}{k-1}9+1-1$$ $$\equiv 9k\pmod{81}\implies \frac{10^k-1}{9}\equiv k\pmod{9}$$ Buradan da sonuç olarak $$\frac{10^{2^{11}}-1}{9}\equiv 2^{11}\pmod{9}$$ elde edilir. Yani $A$'nın rakamları toplamının $9$'a bölümünden kalan da $2^{11}$'dir. Test mantığıyla cevabın $2^{11}$ olduğunu söyleyebiliriz.

[ygzgndgn]

Sorunun başka şekilde çözümü mümkün müdür hocam? En azından 2^k formunda olduğunu şıklara bakmadan belirleyemez miydik?

[Metin Can Aydemir]

Sorunun başka şekilde çözümü mümkün müdür hocam? En azından 2^k formunda olduğunu şıklara bakmadan belirleyemez miydik?

İndirgemeli dizi veya ilk birkaç terimde formülü anlayabilirsen, tümevarım kullanılabilir. Bu yöntem için $A=\frac{10^{2^{11}}-1}{9}$ olduğunu kullanacağım ama herhalde kullanmadan da işlemleri yapabiliriz. $S_n$'i $A_n=11\cdot a_1a_2\cdots a_n=\frac{10^{2^{n+1}}-1}{9}$'nun rakamları toplamı olarak tanımlayalım. Bu sayı kesinlikle $2^{n+1}$ basamaktan az basamağa sahiptir. $$\frac{A_{n+1}}{A_n}=\frac{10^{2^{n+2}}-1}{10^{2^{n+1}}-1}=10^{2^{n+1}}+1$$ olduğunu da göz önüne alalım. $\frac{10^{2^{n+1}}-1}{9}=x_{(2^{n+1})}x_{(2^{n+1}-1)}\cdots x_{(1)}$ şeklinde $2^{n+1}$ basamak olarak yazalım ($2^{n+1}$ basamağa yetişmek için soluna sıfır ekleyebiliriz.) $$A_{n+1}=(10^{2^{n+1}}+1)A_n=(10^{2^{n+1}}+1)x_{(2^{n+1})}x_{(2^{n+1}-1)}\cdots x_{(1)}=x_{(2^{n+1})}x_{(2^{n+1}-1)}\cdots x_{(1)}x_{(2^{n+1})}x_{(2^{n+1}-1)}\cdots x_{(1)}$$ olur. Yani $S_{n+1}=2S_n$'dir. Bu bir geometrik dizi olduğundan $S_n=2^{n-1}S_1=2^{n+1}$ olur. $A=A_{10}$ olduğundan aranılan cevap da $S_{10}=2^{11}$'dir.

Başka bir yöntem olarak da $A_n=\underbrace{11\dots 11}_{2^{n+1}\ \text{ tane } 1 }$ olduğu gösterilebilir.

[geo]

Metin Can Aydemir'in çözümlerini biraz kısaltabilriz.
Her iki tarafı $(10-1)$ ile çarpıp $A=\dfrac{10^{2^{11}}-1}9=\dfrac {(10-1)(10^{2^{11}-1}+10^{2^{11}-2}+\dots + 10+1)}9=\underbrace{11\dots 11}_{2^{11}\ \text{ tane } 1}$ buluruz.

Ya da Metin Can Aydemir'in yaptığı gibi,
$A \equiv \underbrace{2\cdot 2 \cdots 2}_{11 \text { tane }} \equiv 2^{11}\equiv 2^5  \equiv 5 \pmod 9$ elde ederiz.
Şıklardaki kalanlar sırasıyla $8, 7, 5, 1, 2$ olduğu için cevap $2^{11}$ dir.

[ygzgndgn]

Emeğinize sağlık hocam; güzel soru, güzel çözüm. <3

[Lokman Gökçe]

Problemin genel haldeki çözümünü verelim.

Yanıt: $\boxed{C}$

$a_n = 10^{{2}^n}+1$ şeklinde yazılabilir. Genel bir ifadeyle $A_n = 11\cdot a_1 \cdot a_2 \cdot a_3 \cdots a_n $ diyelim. $A_n = 11\cdot (10^{{2}^1} + 1) \cdot (10^{{2}^2} + 1) \cdot (10^{{2}^3} + 1) \cdots (10^{{2}^n} + 1) $ olup her iki tarafı $10^{{2}^1} - 1$ ile çarparsak, iki kare farkı özdeşliğinin peş peşe uygulanmasıyla
$$  A_n = \dfrac{10^{{2}^{n+1}} -1 }{9} $$
elde edilir. Bu ifade de $2^{n+1}$ tane tane $1$ rakamının yan yana yazılmasıyla elde edilen $11\dots 1$ sayısına eşit olur. Çünkü, geometrik toplam yoluyla
$$ 11\dots 1 =  10^{{2}^n} + 10^{{2}^{n}-1} + 10^{{2}^{n}-2} + \cdots + 1 = \dfrac{10^{{2}^{n+1}} -1 }{9} $$
eşitliği vardır. Dolayısıyla $A_n$ nin rakamları toplamı $2^{n+1}$ dir. $A_{10} = 2^{11}$ bulunur.