2013 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 21

[matematikolimpiyati]

$m(\widehat{BAD})=70^{\circ}, \ m(\widehat{BDA})=52^{\circ}, \ m(\widehat{BCD})=55^{\circ}, \ m(\widehat{ACD})=29^{\circ}$ olan dışbükey $ABCD$ dörtgeninde köşegenlerin kesim noktası $E$  ise  $m(\widehat{AED})$ kaç derecedir?

$\textbf{a)}\ 93  \qquad\textbf{b)}\ 95  \qquad\textbf{c)}\ 97  \qquad\textbf{d)}\ 100  \qquad\textbf{e)}\ 102$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{A}$

$ABD$ üçgeninin çevrel çemberinin $AC$'yi kestiği nokta $O$ olsun. $m(\widehat{ABD})=m(\widehat{AOD})=2\cdot m(\widehat{ACD})$ ve $m(\widehat{ADB})=m(\widehat{AOB})=2\cdot m(\widehat{ACB})$ olduğundan $O$; $BCD$'nin çevrel çemberinin merkezidir. $m(\widehat{BOD})=110^\circ$ olduğundan $m(\widehat{BDO})=35^\circ$ olacaktır. $$m(\widehat{AED})=m(\widehat{BDO})+m(\widehat{ADO})=35^\circ+58^\circ=93^\circ$$ elde edilir.