2013 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 20

[matematikolimpiyati]

Kaç tane $m \in [-1001,1001]$ tam sayısı için$,\ x$'in her reel değerinde$,$

                     $P(x)=x^2+1000x+m$   ve   $Q(x)=x^2-1000x+m$

sayılarının en az biri pozitif olur?

$\textbf{a)}\ 1001  \qquad\textbf{b)}\ 1000  \qquad\textbf{c)}\ 1  \qquad\textbf{d)}\ 10  \qquad\textbf{e)}\ 11$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{A}$

Verilen polinomları $P(x)=(x+500)^2+m-250000$ ve $Q(x)=(x-500)^2+m-250000$ olarak yazalım. Öncelikle $x=0$ için $P(0)=Q(0)=m$ olduğundan $m>0$ olmalıdır. Dolayısıyla $x$ negatif ise $Q(x)=x^2-1000x+m>0$ olacaktır. Benzer şekilde $x$ pozitif ise $P(x)=x^2+1000x+m$ pozitif olur. Yani $m$'nin pozitif olması yeterlidir. $m=1,2,\dots,1001$'den tam olarak $1001$ tamsayı elde ederiz.