2013 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 17

[matematikolimpiyati]

$f(x)$ fonksiyonu$,\ x$ sayısının basamak sayısını göstermek üzere$,$

                           $f(a)+f(a^2)+f(a^3)+f(a^4)+ \cdots +f(a^{20})$

toplamı en fazla $2730$ olabiliyorsa$,\ a$ sayısı kaç basamaklıdır?

$\textbf{a)}\ 10  \qquad\textbf{b)}\ 14  \qquad\textbf{c)}\ 12  \qquad\textbf{d)}\ 11  \qquad\textbf{e)}\ 13$

[Abdullah demircan]

Cevap: $\fbox{E}$

$f(a)=n$ olsun. O halde
$10^{n-1}-1<a<10^{n}$ olur. Bu eşitsizliğe göre herhangi k pozitif tam sayısı için $a^{nk}$ en fazla $nk$ basamaklı olabilir. Buna göre,
$n+2n+3n ....+20n=10.21n=2730$. Buradan da $n=13$ gelir.