Polinomun köklerinin 5. kuvvetler toplamı {Çözüldü}

[Lokman Gökçe]

Vieta teoremine uygulama olabilecek güzel bir soru.

Problem: $x^5+5x^3+1=0$ denkleminin kökleri $x_i$, $i=1,2,3,4,5$ olmak üzere $\displaystyle{\sum_{i=1}^5 x_i^5+ \sum_{i=1}^5 \dfrac{1}{x_i^5}}$toplamının değeri kaçtır?

[Metin Can Aydemir]

Öncelikle $\sum_{i=1}^{5}x_i^5$ toplamını hesaplayalım. $x_i^5=-5x_i^3-1$ olduğundan $$\sum_{i=1}^{5}x_i^5=-5-5\sum_{i=1}^{5}x_i^3$$ olacaktır. Küplerin toplamını hesaplayalım. Vieta formüllerinden, $$0=\left(\sum_{i=1}^{5} x_i\right)\left(\sum_{i=1}^{5} x_i^2\right)=\sum_{i=1}^{5} x_i^3+\sum_{i\neq j}x_i^2x_j$$ Ayrıca, $$0=\left(\sum_{i=1}^{5} x_i\right)\left(\sum_{i\neq j} x_ix_j\right)=\sum_{i\neq j} x_i^2x_j+\sum_{i\neq j, i\neq k\\ j\neq k} x_ix_jx_k$$ $$\implies \sum_{i=1}^{5} x_i^3=\sum_{i\neq j, i\neq k\\ j\neq k} x_ix_jx_k=0$$ olur (Vieta formüllerinden). Sonuç olarak $\sum_{i=1}^{5} x_i^5=-5$ bulunur. Şimdi ikinci kısım olan $\sum_{i=1}^{5}\frac{1}{x_i^5}$ için kökleri $\frac{1}{x_i}$ olan bir polinom üretelim. $$\left(\frac{1}{x}\right)^5+5\left(\frac{1}{x}\right)^3+1=\frac{x^5+5x^2+1}{x^5}$$ olur. Yani $\frac{1}{x_i}$ sayıları $x^5+5x^2+1=0$ denkleminin kökleridir. $x^5=-1-5x^2$ olduğundan $\sum_{i=1}^{5}\frac{1}{x_i^5}=-5-5\sum_{i=1}^{5}\frac{1}{x_i^2}$ olur. $$\sum_{i=1}^{5}\frac{1}{x_i^2}=\left(\sum_{i=1}^{5} \frac{1}{x_i}\right)^2-2\sum_{i\neq j} \frac{1}{x_ix_j}=0$$ olur. Dolayısıyla $\sum_{i=1}^{5}\frac{1}{x_i^5}=-5-5\sum_{i=1}^{5}\frac{1}{x_i^2}=-5$ olacaktır. Böylece $\sum_{i=1}^5 x_i^5+ \sum_{i=1}^5 \dfrac{1}{x_i^5}=-10$ bulunur.

[Lokman Gökçe]

Tebrikler Metin Can. Ben de kendi çözümümü ekleyebilirim.

Çözüm: Vieta teoreminden kökler toplamının $ \displaystyle{\sum_{i=1}^5 x_i =0} $ olduğunu buluruz. $x_i^5+5x_i^3+1=0$ olduğundan $x_i^5 = - 5x_i^3 - 1$ olur. Ayrıca eşitliği $x_i^5$ ile bölersek $ \dfrac{1}{x_i^5} =  -\dfrac{5}{x_i^2} - 1$ olur. Böylece,

$$ \displaystyle{\sum_{i=1}^5 \left(x_i^5+ \dfrac{1}{x_i^5} \right) = \sum_{i=1}^5 \left(- 5x_i^3 - 1+-\dfrac{5}{x_i^2} - 1 \right)  = -10 -5\sum_{i=1}^5 \left(x_i^3+ \dfrac{1}{x_i^2} \right) = -10 - 5\sum_{i=1}^5 \left( \dfrac{x_i^5+1}{x_i^2} \right) = -10 + 5\sum_{i=1}^5 \left( \dfrac{5x_i^3}{x_i^2} \right) = -10 + 25\sum_{i=1}^5 x_i = - 10} $$
elde edilir.