2013 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 16

[matematikolimpiyati]

$P(x)=36x^4-36x^3+5x^2+4x-1$ polinomunun kökleri $x_1,x_2,x_3$ ve $x_4$ olsun. Bu köklerin reel olduğu biliniyorsa

                                      $S=(1-x_1^2)(1-x_2^2)(1-x_3^2)(1-x_4^2)$

ifadesinin değeri kaçtır?

$\textbf{a)}\ \dfrac29  \qquad\textbf{b)}\ \dfrac13  \qquad\textbf{c)}\ \dfrac23  \qquad\textbf{d)}\ \dfrac49  \qquad\textbf{e)}\ \dfrac56$

[Lokman Gökçe]

Yanıt: $\boxed{D}$

$C_1=(1-x_1)(1-x_2)(1-x_3)(1-x_4)$ ve $C_2=(1+x_1)(1+x_2)(1+x_3)(1+x_4)$ dersek $S=C_1\cdot C_2$ olur.

$Q(x)=P(1-x) = 36(1-x)^4 + \cdots $ polinomunun kökleri $1-x_i$ ve $R(x)=P(1+x) = 36(1+x)^4 + \cdots $ polinomunun kökleri $1+x_i$ ($i=1,2,3,4$) olur.

$Q$ polinomunun sabit terimi $Q(0)=P(1)=8$, $R$ polinomunun sabit terimi $R(0)=P(-1)=72$ dir. Ayrıca bu polinomların baş katsayıları $36$ dır.
Dolayısıyla $Q$'nun kökler çarpımı $C_1 = \dfrac{8}{36} = \dfrac{2}{9}$ ve $R$'nin kökler çarpımı $C_2 = \dfrac{72}{36} = 2$ dir.

$$ S =  \dfrac{2}{9}\cdot 2 = \dfrac{4}{9}$$

bulunur.