2013 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 15

[matematikolimpiyati]

Kaç tane $m \in [-100,100]$ tam sayısı için$,\ m^3+m^2+11$ sayısı$,\ m^2-m+1$ sayısına tam bölünür?

$\textbf{a)}\ 10  \qquad\textbf{b)}\ 7  \qquad\textbf{c)}\ 5  \qquad\textbf{d)}\ 3  \qquad\textbf{e)}\ 2$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{C}$

Öncelikle $m^2-m+1\neq 0$ olduğuna dikkat edelim. Bizden $\frac{m^3+m^2+11}{m^2-m+1}\in \mathbb{Z}$ olması isteniliyor. Polinom bölmesi ile $$\frac{m^3+m^2+11}{m^2-m+1}=m+2+\frac{m+9}{m^2-m+1}$$ olduğundan $\frac{m+9}{m^2-m+1}\in \mathbb{Z}$ olması yeterlidir. $m^2-m+1$'in reel kökü olmadığından her zaman pozitiftir. $m=-9$ için tamsayı olacağı barizdir.

Eğer $m+9>0$ ise $m^2-m+1\leq m+9$ olmalıdır. Buradan $$m^2-2m+1\leq 9\implies -3\leq m-1\leq 3\implies -2\leq m\leq 4$$ bulunur. Bu değerler için denenirse sırasıyla $\frac{m+9}{m^2-m+1}=1,\frac{8}{3},9,10,\frac{11}{3},\frac{12}{7},1$ olduğundan sadece $m=-2,0,1,4$ olabilir.

Eğer $m+9<0$ ise $m^2-m+1\leq -m-9$ olmalıdır. Buradan $m^2\leq -10$ bulunur. Çözüm yoktur.

Tüm çözümler, $m=-9,-2,0,1,4$ olmak üzere $5$ tane $m$ vardır.