2013 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 12

[matematikolimpiyati]

$\dfrac{2x}{x-1}(x^5-1)+x^6+1=0$ denkleminin reel çözümlerinin sayısı kaçtır?

$\textbf{a)}\ 1  \qquad\textbf{b)}\ 2  \qquad\textbf{c)}\ 3  \qquad\textbf{d)}\ 4  \qquad\textbf{e)}\ 6$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{A}$

$x\neq 1$ koşulu altında $\frac{x^5-1}{x-1}=x^4+x^3+x^2+x+1$ yazalım. Bu durumda $$\frac{2x(x^5-1)}{x-1}+x^6+1=x^6+2x^5+2x^4+2x^3+2x^2+2x+1$$ olur. $x=0$ çözüm olmadığından her tarafı $x^3$'e bölebiliriz. $$x^3+2x^2+2x+2+\frac{2}{x}+\frac{2}{x^2}+\frac{1}{x^3}=0$$ denklemini elde ederiz. $x+\frac{1}{x}=t$ dersek $x^2+\frac{1}{x^2}=t^2-2$ ve $x^3+\frac{1}{x^3}=t^3-3t$ olur. Yerine yazarsak, $$t^3-3t+2t^2-4+2t+2=t^3+2t^2-t-2=(t+2)(t-1)(t+1)=0$$ $x$'li denklemde tüm katsayılar pozitif olduğundan köklerin negatif olması gerekir. Dolayısıyla $t$ de negatiftir.

$t=-2$ ise $x+\frac{1}{x}=-2$ ve $x^2+2x+1=0$'dan $x=-1$ bulunur.
$t=-1$ ise $x+\frac{1}{x}=-1$'den $x^2+x+1=0$ olur ancak bu denklemin kökü yoktur. Sonuç olarak sadece $x=-1$ reel kökü vardır.