2013 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 11

[matematikolimpiyati]

$|AB|=|BC|=\sqrt2|CD|$  olan $ABCD$  dörtgeninde $m(\widehat{B})=108^{\circ},\ m(\widehat{C})=153^{\circ}$  ise $m(\widehat{A})$ kaç derecedir?

$\textbf{a)}\ 45  \qquad\textbf{b)}\ 54  \qquad\textbf{c)}\ 60  \qquad\textbf{d)}\ 72  \qquad\textbf{e)}\ 75$

[Lokman Gökçe]

Anekdot: Benim hazırladığım bir sorulardan biriydi. Aslında problemin ana fikrini oluşturan bir biçimini 2003 gibi kurgulamıştım. Daha sonra (2017 yılında olabilir) benzer fikirde bir problemi Mathematical Association of America (MAA) çatısı altındaki köklü dergilerden olan Mathematics Magazine'e sundum. Bir ara Yabancı Dergilerde Basılan Problemlerim başlığı altında toplamayı düşünüyorum. Uygun bir zamanda, bu problemin oluşum aşamalarını da detaylı biçimde anlatabilirim. Şimdi yarışma sorunun çözümünü paylaşayım:


Yanıt: $\boxed{B}$

Genelliği bozmadan $|AB|=|BC| = \sqrt{2}$ ve $|CD|=1$ alabiliriz. Bu durumda kenar uzunluğu $\sqrt{2}$ birim olan $ABCEF$ düzgün beşgenini inşa edebiliriz. $|CE|=\sqrt{2}$ ve $m(\widehat{DCE}) = 153^\circ - 108^\circ = 45^\circ $ olduğundan $|DE| = 1$ olup $DEC$ ikizkenar dik üçgen olur. Dolayısıyla $[AD]$, $ABCDEF$ altıgeninin simetri ekseni olup $m(\widehat{BAD}) = m(\widehat{FAD}) = \dfrac{108^\circ}{2} = 54^\circ$ elde edilir.