2013 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 10

[matematikolimpiyati]

Bir torbada $3$ farklı renkte bilye vardır. Mavi bilyelerin sayısı, sarı bilyelerin sayısının $2$ katı, beyaz bilyelerin sayısı da sarı bilyelerin sayısının $3$ katının $1$ fazlası kadardır. Torbadan, her alışta torbada bulunan bilyelerin sayısının $2$ katının $1$ fazlasının $3$'te biri kadar bilye alınarak, $7$ defa bilye alınıyor. $7$'nci alıştan sonra torbada bilye kalmadığına göre, torbada ilk başta kaç tane sarı bilye vardı?

$\textbf{a)}\ 115  \qquad\textbf{b)}\ 141  \qquad\textbf{c)}\ 176  \qquad\textbf{d)}\ 167  \qquad\textbf{e)}\ 182$

[Lokman Gökçe]

Yanıt: $\boxed{E}$

Mavi, beyaz, sarı bilyelerin sayısını sırasıyla $M, B, S$ ile gösterelim. $M=2S$, $B=3S+1$ olur. Torbada başlangıçta bulunan bilye sayısını $x_0$ ile gösterirsek $ x_0 = 6S +1 $ dir. Torbadan $n$ inci defa bilye alındığında kalan bilye sayısını da $x_n$ ile gösterelim. Diğer taraftan $ x_n - \dfrac{2x_n + 1 }{3} = x_{n+1} $ olduğundan $x_{n+1} = \dfrac{x_n -1}{3}$ elde edilir. $x_7 = 0$   olduğundan $ x_6 = 1 $ dir. Bu şekilde $x_5, x_4, x_3, x_2, x_1, x_0$  değerleri sırasıyla $4, 13, 40, 121, 364, 1093$ olarak elde edilir. $6S+1 = 1093$ eşitliğinden $S = 182$ bulunur.