2013 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 09

[matematikolimpiyati]

$2 \cdot m(\widehat{A}) - m(\widehat{C}) = 180^{\circ}$ olan $ABC$ üçgeninde $|BC|=a,\ |CA|=b$  ve  $|AB|=c$  ise  $b$'nin $a$ ve $c$ türünden eşiti aşağıdakilerden hangisidir?

$\textbf{a)}\ \dfrac{a^2-c^2}{a}  \qquad\textbf{b)}\ \sqrt{a^2-ac}  \qquad\textbf{c)}\ (\sqrt a - \sqrt c)^2  \qquad\textbf{d)}\ \dfrac{a^2+c^2}{2c}  \qquad\textbf{e)}\ \dfrac{a(a+c)}{2c}$

[Lokman Gökçe]

Bu sınav için hazırladığım sorulardan biridir. Çözümümü paylaşabilirim:

Yanıt: $\boxed{A}$

$m(\widehat{C}) = 2\alpha$ diyelim. $m(\widehat{A}) = 90^\circ + \alpha$ olur. $[BC]$ üzerinden $m(\widehat{BAD}) = 2\alpha $ olacak şekilde bir $D$ noktası alalım. Bu durumda $m(\widehat{DAC}) = m(\widehat{ADC}) = 90^\circ - \alpha $ olduğundan $ADC$ üçgeni ikizkenar olup $ |CD| = |CA| = b$ dir. $|BD| = a-b$ dir. $DBA \sim ABC $ (açı-açı-açı benzerliği) olduğundan
$$ \dfrac{|DB|}{|AB|} = \dfrac{|AB|}{|BC|} \implies \dfrac{a-b}{c} = \dfrac{c}{a} $$
yazılır. Buradan $a^2 -ab = c^2$ olup $b= \dfrac{a^2 - c^2}{a}$ elde edilir.