2013 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 08

[matematikolimpiyati]

$ABC$ üçgeninin kenar uzunlukları $a,b,c$  ve  $a$  kenarı karşısındaki köşe açısı $60^{\circ}$ olsun. $a=4$  ve  $b=3$ ise

                                                           $\dfrac{a^3+b^3+c^3}{a+b+c}$

oranı aşağıdakilerden hangisidir?

$\textbf{a)}\ 14  \qquad\textbf{b)}\ 16  \qquad\textbf{c)}\ 18  \qquad\textbf{d)}\ 20  \qquad\textbf{e)}\ 25$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{B}$

Kosinüs teoreminden $c^2+b^2-bc=c^2-3c+9=a^2=16$ ve buradan $c^2=3c+7$ bulunur. Bizden istenen oran $$S=\frac{a^3+b^3+c^3}{a+b+c}=\frac{c^3+91}{c+7}=\frac{c(3c+7)+91}{c+7}=\frac{3c^2+7c+91}{c+7}$$ $$=\frac{3(3c+7)+7c+91}{c+7}=\frac{16c+112}{c+7}=16$$ bulunur.

[Metin Can Aydemir]

Sorunun genel haliyle ($a$ ve $b$ verilmemişken) çözmeye çalışalım. Yine kosinüs teoreminden $c^2-bc+b^2=a^2$ ve buradan $c^2=a^2-b^2+bc$ elde edilir. Oranda yerine yazılırsa, $$S=\frac{a^3+b^3+c^3}{a+b+c}=\frac{a^3+b^3+c(a^2-b^2+bc)}{a+b+c}=\frac{a^3+b^3+c(a^2-b^2)+bc^2}{a+b+c}$$ $$=\frac{a^3+b^3+c(a^2-b^2)+b(a^2-b^2+bc)}{a+b+c}=\frac{a^3+a^2b+a^2c}{a+b+c}=a^2$$ bulunur. Yani $b$ değerinden bağımsız olarak cevap $a^2=16$'dır.

[Lokman Gökçe]

Not: Bu problemde $c^2 - 3c - 7 = 0$ denkleminin pozitif bir köke sahip olduğu gösterilmelidir. İkinci dereceden denklem çözülürse, $c = \dfrac{3+\sqrt{37}}{2}$ şeklinde pozitif bir değer vardır.

2013'deki sınav kitapçığında $a=4$, $b=5$ gibi değerler verilmişti diye hatırlıyorum. Bu durumda $c^2 - 5c + 9 = 0$ denklemi elde ediliyor. Fakat denklemin pozitif gerçel çözümü yoktur. Yani böyle bir üçgen çizilemiyor. Bu ise sorunun iptal edilme gerekçesiydi.