2013 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 07

[matematikolimpiyati]

$x$ pozitif reel sayı olmak üzere$,\ \dfrac{x^3+x}{x^4+3x^3+11x^2+3x+1}$  ifadesinin alabileceği en büyük değer kaçtır?

$\textbf{a)}\ \dfrac16  \qquad\textbf{b)}\ \dfrac13  \qquad\textbf{c)}\ \dfrac19  \qquad\textbf{d)}\ \dfrac17  \qquad\textbf{e)}\ \dfrac{1}{11}$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{C}$

$x$ pozitif reel sayı olduğundan pay ve paydayı $x^2$'e bölebiliriz. İfadeye $S$ dersek, $$S=\frac{x+\frac{1}{x}}{x^2+3x+11+\frac{3}{x}+\frac{1}{x^2}}$$ olacaktır. $x+\frac{1}{x}=y$ dersek $x^2+\frac{1}{x^2}=y^2-2$ olacaktır. $$S=\frac{y}{y^2-2+3y+11}=\frac{y}{y^2+3y+9}$$ $x+\frac{1}{x}$ değeri alttan $2$ ile sınırlıdır (eşitlik durumu $x=1$'dir), üstten ise sınırlı değildir. Yani $y\in [2,\infty)$'dir. $S$'yi $y$'e bağlı bir fonksiyon olarak düşünürsek, $$S'(y)=\frac{9-y^2}{(y^2+3y+9)^2}$$ olur ve $[2,\infty)$ aralığı için $S'(y)=0\iff y=3$ olacağından sadece $y=2$, $y=3$ ve $y\to \infty$ için incelemeliyiz. $$S(2)=\frac{2}{19},\quad S(3)=\frac{1}{9},\quad \lim_{y\to \infty} S(y)=0$$ elde edilir. Dolayısıyla $\boxed{\max{S}=\frac{1}{9}}$. Eşitlik durumu $x+\frac{1}{x}=3$ denkleminin, veya denk olarak, $x^2-3x+1=0$ denkleminin pozitif köklerinden biri alınabilir.

[geo]

$\begin{array}{lll}S &=& \dfrac{x^3+x} {x^4+3x^3+11x^2+3x+1} \\ &=&\dfrac{1}{\dfrac{x^4+11x^2+1}{x^3+x} + 3}\\
&=& \dfrac{1}{\dfrac{(x^2+1)^2+9x}{x(x^2+1)}+3} \\
&=& \dfrac{1}{\dfrac{x^2+1}{x}+ \dfrac{9x}{x^2+1}+3}
\end{array}$

$AO \geq GO$ dan alt taraf en az $6+3=9$ olacaktır. Bu durumda $\max S = \dfrac 19$ olacaktır.

[geo]

Metin Can'ın çözümündeki reel köklerin olmama durumuna göre,

$\dfrac {x^3+9x}{x^4+3x^3+20x^2+27x+81}$ ifadesinin en büyük değeri nedir?

gibi bir soru sorulabilir.

bkz.Wolfram

[Eray]

$x+\frac{1}{x}=y$ dersek $x^2+\frac{1}{x^2}=y^2-2$ olacaktır. $$S=\frac{y}{y^2-2+3y+11}=\frac{y}{y^2+3y+9}$$

Bu noktada $S$ ifadesinin en büyük değerini bulmakla denk olan $1/S$ ifadesinin en küçük değerini bulmakla devam edebiliriz.

$\begin{align*}
\dfrac 1 S &= \dfrac{y^2 + 3y + 9}{y}\\
&= y + 3 + \dfrac 9 y\\
&= 3 + \left( y + \dfrac 9 y \right)\\
&\ge 3 + 2\sqrt{y \cdot \dfrac 9 y} \qquad \text{(A.G.O)}\\
&= 9.
\end{align*}$

Yani $1/S \ge 9$ eşitsizliği geçerlidir, ve eşitlik durumu $y=3$ iken sağlanır. Dolayısıyla $S\le 1/9$ eşitsizliği geçerlidir, ve eşitlik durumu yine $y=3$ iken sağlanır.

Çözümün geri kalanında aynı yol izlenebilir.

Dolayısıyla $\boxed{\max{S}=\frac{1}{9}}$. Eşitlik durumu $x+\frac{1}{x}=3$ denkleminin, veya denk olarak, $x^2-3x+1=0$ denkleminin pozitif köklerinden biri alınabilir.