2013 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 05

[matematikolimpiyati]

$x^3+ax^2+bx+2=0$ denkleminin $x_1,x_2$ ve $x_3$ köklerinin üçü de negatif reel sayılardır. $3x_1+9x_2+4x_3=-18$ olduğuna göre$,\ x_1^2+x_2^2-x_3^2$ ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir?

$\textbf{a)}\ \dfrac{79}{36}  \qquad\textbf{b)}\ \sqrt{13}+4  \qquad\textbf{c)}\ 13+\sqrt{13}  \qquad\textbf{d)}\ \dfrac74  \qquad\textbf{e)}\ \dfrac{9}{36}+\sqrt{13}$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{A}$

Vieta formüllerinden $x_1x_2x_3=-2$ olduğunu görebiliriz. $y_i=-x_i$ dersek, $y_i$'ler pozitif, $y_1y_2y_3=2$, $3y_1+9y_2+4y_3=18$ ve $x_1^2+x_2^2-x_3^2=y_1^2+y_2^2-y_3^2$ olur. Aritmetik-Geometrik ortalama eşitsizliğinden $$18=3y_1+9y_2+4y_3\geq 3\sqrt[3]{27\cdot 4\cdot y_1y_2y_3}=18$$ olur. Eşitlik durumu olduğundan dolayı $3y_1=9y_2=4y_3=6$ olmalıdır. Buradan $(y_1,y_2,y_3)=\left(2,\frac{2}{3},\frac{3}{2}\right)$ elde edilir. Dolayısıyla $$x_1^2+x_2^2-x_3^2=y_1^2+y_2^2-y_3^2=4+\frac{4}{9}-\frac{9}{4}=\frac{79}{36}$$ elde edilir.

[Lokman Gökçe]

Bu da sunduğum sorulardan biriydi, sınav için biraz modifiye edildi. Pekiştirici olması açısından, bu problem için yazdığım orijinal versiyonunu da paylaşabilirim:


Orijinal Versiyon: $x^4 + ax^3 + bx^2 + cx + 2 = 0$ denkleminin kökleri $x_1, x_2, x_3, x_4$ şeklindeki negatif sayılardır. $$ 6x_1 + 27x_2 + x_3 + 4x_4 = -24 $$ olduğuna göre $x_3 \cdot x_4$ nedir?

$ \textbf{a)}\ 10  \qquad\textbf{b)}\ 9  \qquad\textbf{c)}\ 8  \qquad\textbf{d)}\ 6  \qquad\textbf{e)}\ 15 $


Çözüm: Yanıt: $\boxed{B}$

Vieta teoreminden polinomun kökler çarpımını $x_1 \cdot x_2 \cdot x_3 \cdot x_4 = 2$ olarak hesaplarız. $-x_1, -x_2, -x_3, -x_4$ sayıları pozitiftir.  $6(-x_1) + 27(-x_2) + (-x_3) + 4(-x_4) = 24$ olup aritmetik – geometrik ortalama eşitsizliğinden
$$ \dfrac{6(-x_1) + 27(-x_2) + (-x_3) + 4(-x_4)}{4}\geq \sqrt[4]{6(-x_1) \cdot 27(-x_2) \cdot (-x_3) \cdot 4(-x_4)}$$
yazılır. Buradan $6\geq 6$ elde edilir. Eşitlik durumunun sağlanması ancak ve ancak $6(-x_1) = 27(-x_2) = (-x_3) = 4(-x_4) = 6 $ iken mümkündür. Buradan $x_3 \cdot x_4 = (-6)\cdot \dfrac{-3}{2} = 9$ bulunur.