2013 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 04

[matematikolimpiyati]

Terimlerinin tamamı tam sayı olan bir aritmetik dizide$,\ a_1=13$'tür. $a_1=13$ terimi ile $2013$ terimi arasında en az $100$ terim olması koşuluyla$,\ 2013$ sayısı bu dizinin en az kaçıncı terimi olabilir?

$\textbf{a)}\ 251  \qquad\textbf{b)}\ 101  \qquad\textbf{c)}\ 126  \qquad\textbf{d)}\ 121  \qquad\textbf{e)}\ 108$

[Lokman Gökçe]

Yanıt: $\boxed{C}$

$a_1 = 13$, $a_n=2013$ ve aritmetik dizinin ortak farkı $d$ olsun. $a_1 = 13$, $a_n=2013$ arasında en az $100$ terim varsa $n\geq 102$ olması gerekir. Bir aritmetik dizide $a_n = (n-1)d + a_1$ olduğundan $(n-1)d = 2013 - 13 = 2000$ dir. $n-1\mid 2000$ olduğundan $n-1 = 100$ ya da $n-1 = 125$ gibi değerleri inceleriz. Buradan $n=101$, $n=126$ değerleri bulunur. Her ne kadar $101$ sayısı seçeneklerde olsa da $n \geq 102$ koşulundan dolayı $n=126$ en küçük değer olur.