2013 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 02

[matematikolimpiyati]

$20$ kişilik bir sınıfta, bir matematik testi yapılıyor. Herkesin en az bir soru çözdüğü bu sınavda, testteki her bir problem tam $13$ öğrenci tarafından çözülüyor. $20$ öğrencinin iki tanesi dışında her biri $5$'er soru çözüyor. Buna göre, farklı sayıda soru çözen son iki öğrenci arasından az sayıda soru çözen öğrenci, en az kaç soru çözmüş olabilir?

$\textbf{a)}\ 3  \qquad\textbf{b)}\ 4  \qquad\textbf{c)}\ 5  \qquad\textbf{d)}\ 6  \qquad\textbf{e)}\ 7$

[Lokman Gökçe]

Yanıt: $\boxed{D}$

Sınavda $n$ tane soru sorulmuş olsun. $x<y$ olmak üzere son iki öğrenci $x$ ve $y$ tane soru çözmüş olsunlar. $x,y\leq n$ dir. $18\cdot 5  + x + y = 13\cdot n$ dir. $n=7$ için $x+y=1$ olup $x=0$, $y=1$ dir. $x$ ve $y$ pozitif olduğundan buradan bir değer bulamayız. $n=8$ için $x+y = 14$ olur. $x,y\leq 8$  olduğundan $y=8$ için $x=6$ bulunur.