2013 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 01

[matematikolimpiyati]

$[a]$ ifadesi$,\ a$'dan büyük olmayan en büyük tam sayıyı göstermek üzere$,\ [x^2]-2x+1=0$ denkleminin tüm çözümlerinin toplamı kaçtır?

$\textbf{a)}\ 0  \qquad\textbf{b)}\ 1  \qquad\textbf{c)}\ 2  \qquad\textbf{d)}\ 3  \qquad\textbf{e)}\ 4$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{D}$

$[x^2]=2x-1$ tamsayı olduğundan $2x$ de tamsayıdır. Eğer $2x=n$ dersek, $x=\frac{n}{2}$ olur.

Eğer $n$ çift ($=2m$) ise $x=m$ olacağından denklem $m^2-2m+1=(m-1)^2=0$'dan $m=x=1$ bulunur.

Eğer $n$ tek ($=2m+1$) ise  $x=\frac{2m+1}{2}$ ve $[x^2]=\left[\frac{4m^2+4m+1}{4}\right]=m^2+m$ olur ve $$[x^2]-2x+1=m^2-m=m(m-1)=0$$ olur ve $m=0$'dan $x=\frac{1}{2}$ ve $m=1$'den $x=\frac{3}{2}$ çözümü bulunur. Çözümlerin toplamı da $1+\frac{1}{2}+\frac{3}{2}=3$ bulunur.

[Lokman Gökçe]

2013'te tüm çözümleri pdf dosyası olarak 18. UAMO (2013) Birinci Aşama Sınavı Soruları başlığında sunmuştuk. Kolaylık için buraya da ekleyebiliriz.

[Lokman Gökçe]

Yanıt: $\boxed{D}$

$\bullet $ $x<0$ iken $ [ x^2 ] - 2x + 1 >0 $ olduğundan denklemin çözümü yoktur.

$\bullet $ $x=0$ için denklem sağlamaz.

$\bullet $ $x>0$ iken $2x = [x^2] + 1 $ bir tam sayı olduğundan, $n$ bir pozitif tam sayı olmak üzere $x=\dfrac{n}{2}$ biçimindedir. Tam değer fonksiyonunun tanımından dolayı $x^2 - 1 < [x^2] \leq x^2$ eşitsizliği vardır. Dolayısıyla $2x = [x^2] + 1 > x^2$ olup $x<2$ dir. $x=\dfrac{1}{2}$, $x=1$, $x=\dfrac{3}{2}$ değerleri denklemde denenirse bu sayıların birer çözüm olduğu görülür. Toplam $1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{3}{2} = 3$ elde edilir.